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Revista Ciencia, Tecnología e Innovación. Todos los derechos
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Artículo Revista Ciencia, Tecnología e Innovación
Gestión 2020 Volumen 18, Número 22 125 - 148
Fórmula para hallar la cifra de números primos menores que una
cantidad dada
Beimar Wilfredo López Subia
Universidad Mayor, Real y Pontificia de San Francisco Xavier de
Chuquisaca, Facultad de Ingeniería Civil, Sucre – Bolivia.
beimarlopezsubia@hotmail.com
125
Fórmula para hallar la cifra de números primos menores que una cantidad dada
Formula to find the figure of prime numbers less than a given amount
Beimar Wilfredo López Subia *
1
Universidad San Francisco Xavier de Chuquisaca, Carrera de Ingeniería Civil.
Recibido octubre 26,2020; Aceptado diciembre 28,2020
La fórmula se ha incrustado en un teorema,
que se demostrará, con el propósito de que
todo matemático pueda verificar el proceso
de creación de la fórmula, desde cero.
Se crea un código de programación, que se
puede implementar en un software más
potente para poder encontrar resultados
muy importantes, sin importar que tan
grande sea la cifra dada, y sin perder
exactitud.
El código es válido para encontrar la
cantidad de números primos menores que
un número, saber cuáles son esos números
primos, e identificar de manera rápida si un
número es primo.
Se verifica de manera numérica la cantidad
de números primos menores que una cifra
dada, hasta
; pero, entendiendo el
proceso de la creación de la fórmula se
puede concluir que cumple para cualquier
número.
RESUMEN
En este artículo se presenta una fórmula para
obtener un resultado totalmente exacto, en la
cantidad de números primos menores que un
número dado.
Los números primos tienen mucha
importancia y realizando un estudio a
profundidad, se ha podido descubrir la
fórmula que se encuentra en este artículo;
con el propósito de usar en la criptografía
(Algoritmo RSA) y muchas aplicaciones de la
matemática.
Esta investigación avala: “En la ciencia y la
matemática todo es posible, y se puede
hacer avances usando nueva matemática";
porque es una fórmula inédita descubierta
mediante un método heurístico.
Se dará conocimiento de una función
característica (Función Eit), que ayuda en la
exactitud numérica, de encontrar la cantidad
de números primos menores que cierto
número dado.
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En la distribución de números primos se ha
estudiado lagunas, llegando a concluir que la
fórmula contadora de números primos que se
ha descubierto, es correcta e importante para
la matemática y mucho más para criptografía.
Palabras Clave; Algoritmo RSA, Función
, Función Eit, Distribución de números
primos.
ABSTRACT
This article presents a formula in order to
obtain a totally exact result, in the amount of
prime numbers lower than a given number.
Prime numbers are very important and by
conducting an in-depth study, it has been
possible to discover a formula that is shown
in this article; with the purpose of using it in
cryptography (RSA Algorithm) and many
applications in mathematics.
This research states that: "In science and
mathematics everything is possible, and
advances can be made by using new
mathematics" because it is an unpublished
formula discovered through a heuristic
method.
A characteristic function will be known
(function Eit), which helps in numerical
accuracy in order to find the amount of prime
numbers lower than a given number.
The formula has been embedded in a
theorem, which will be demonstrated, so that
every mathematician can verify the process of
creating the formula from the ground up.
A programming code is created which can
be implemented in more powerful software
so that very important results can be found,
no matter how large the given number is,
and in an accurate way.
The code is valid in order to find the amount
of prime numbers lower than a given
number, to know what those prime numbers
are, and to identify quickly if a number is a
prime number.
The amount of prime numbers lower than a
given number is verified in a numerical way,
up to
but, understanding the
process of creating the formula, it can be
concluded that it is true for any number.
Gaps have been studied in the distribution
of prime numbers, coming to the conclusion
that the formula for counting prime numbers
that has been discovered is correct and
important for mathematics and much more
for cryptography.
Keywords; RSA algorithm, Function
,
Function Eit, Distribution of prime numbers.
INTRODUCCIÓN
Se ha demostrado que los números primos
son infinitos, pero matemáticos querían
saber cómo se distribuyen los números
primos entre los números naturales. Este
estudio lo iniciaron Johann Carl Friedrich
Gauss y Adrien-Marie Legendre a finales
del siglo XVIII, para el cual introdujeron a la
matemática una función que encuentre la
cantidad de números primos menores que
un número, y conjeturaron que su valor
fuese aproximado.
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El estudio de los números primos siempre
fue un problema difícil, y un problema
importante para la matemática y la
criptografía.
Todo matemático ha intentado encontrar
una fórmula, inclusive el matemático Euler
(1707-1783) describió: “Hasta el día de hoy,
los matemáticos han intentado en vano
encontrar algún orden en la sucesión de los
números primos, y tenemos motivos para
creer que es un misterio en el que la mente
jamás penetrará”; y esta fórmula encontrada
demuestra, que se puede estudiar a los
números primos usando nueva matemática.
Los números primos y compuestos
El número 1 no es número primo y tampoco
es un número compuesto. Un número primo
es un número natural mayor que 1 que solo
es divisible por 1 y por el mismo número. Un
número compuesto es aquel que es creado
por el producto de números primos.
Cualquier número compuesto es creado por
la multiplicación de números primos, pero el
número primo es tan misterioso que no es
fácil de obtenerlo, estos números están
situados en la sucesión de los naturales de
manera desorganizada.
Quizás, te preguntes ¿Por qué es tan
importante la distribución de los números
primos?, pues sí no existiera números
primos, no existirían los números
compuestos o en otras palabras si no existe
un número primo la matemática no tendría
sentido.
Los números primos son importantes en el
algoritmo RSA que estudia sistemas de
seguridad de todo tipo, y estos números son
el secreto de protección a nivel mundial.
Entre las aplicaciones en matemática se
encuentra el estudio de los números
complejos (primos relativos), la definición de
un cuerpo finito (álgebra abstracta), la
definición de un polígono estrellado (n lados),
y en el representante canónico de un número
racional.
Historia de los números primos
Euclides fue un célebre matemático griego
que vivió durante los años 325 – 265 a.C. Se
lo conoce como el Padre de la Geometría, e
introduce en un libro: “Un número primo es el
medido por la sola unidad”.
El primer test determinista surgió en el siglo
II a. C. y se lo conoce como la criba de
Eratóstenes, en honor a su creador, quien
fue un matemático y astrónomo griego
contemporáneo a Arquímedes. En la primera
mitad del siglo XVII se conocieron los primos
de Fermat, primos de Mersenne y primos de
Sophie Germain.
En 1859 Bernhard Riemann mencionó en su
tesis de doctorado: “Sobre la cifra de
números primos menores que una cantidad
dada” y la conjetura fue nombrada La
hipótesis de Riemann, que es el problema
más famoso que tiene relación con los
números primos y muchos matemáticos
dedicaron parte de su vida intentando
resolver la conjetura.
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Uno de ellos es el matemático C. H. Hardy
que nunca consiguió su propósito, pero
tenía la esperanza de que a lo largo de su
vida algún brillante matemático sí lo
conseguiría. Este matemático se suicidó en
1947 creyendo que quizás en el cielo
sabrían la solución.
David Hilbert es otro matemático que
manifestó que si después de 500 años
resucitase lo primero que haría es preguntar
si se había resuelto la dichosa hipótesis.
Hilbert fue famoso en el congreso de
matemáticas de París de 1900 y le impuso
como tarea a los matemáticos la resolución
de 23 problemas para resolver en el siglo
XX, entre ellos el más famoso es la
hipótesis de Riemann. El propósito principal
de la hipótesis de Riemann, es la
distribución de los números primos.
La función Eit
Para llegar a encontrar una fórmula inédita,
y encontrar la cantidad de números primos
menores que una cifra dada, se ha creado
la función Eit, tomando en cuenta lo
siguiente:
"En la ciencia y la matemática todo es
posible, y se puede hacer avances
usando nueva matemática".
Porque el verdadero propósito de la función
Eit es anular a todo número que pertenece
al conjunto , que se encuentre en el
conjunto. Sin embargo, se explicará que
es un conjunto, para tener un concepto
entendible de esta función nueva.
En matemáticas, un conjunto es una colección
de elementos con características similares
considerada en sí misma como un objeto.
El conjunto de los números naturales es
infinito, pero el conjunto es
finito, porque tiene cuatro elementos, sin
importar que tipo de conjunto sea.
Desde el conjunto sea seleccionado la
mayoría mediante una propiedad. Por
ejemplo; para el conjunto la propiedad se
denomina primalidad, y es un conjunto de
números que sirven para contar la cantidad
de elementos de un conjunto finito.
Una vez entendido que es un conjunto, se
puede continuar explicando sobre la función
Eit, pero siempre recordando la importancia
que esta tiene, en este artículo.
Es una función característica, que
intercambia o anula a un número dado, que
se encuentra en el conjunto .
Si el número dado pertenece al conjunto lo
intercambia con el número uno, caso
contrario lo anula. Se denota mediante
y se define como:
Todo número que no pertenece al conjunto
directamente pertenece al conjunto ; por lo
tanto, el propósito de la función Eit es anular
a todo número, que pertenece al conjunto .
El valor de cualquier número dado ,
tiene como resultado el número uno o el cero.
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Por ejemplo:
, porque el número
no es un número natural ( )
, porque el número
no es un número natural ( )
, porque el número (cero) no
es un número natural ( )
, porque el número
es un número natural ( )
En cada caso se explica, porque el valor
es igual a cero o uno. Y se puede
notar que son anulados todos los números
decimales, el cero y los negativos de
manera directa.
Para demostrar cómo se encuentra la cantidad de números naturales, que existe en un
conjunto dado, se procederá a usar el mismo conjunto finito: ,
para luego verificar el resultado. Lo primero que se debe realizar es encontrar el valor de
cada elemento:
; y sumando cada termino de
, se encuentra el resultado:
Ya verificado el procedimiento y encontrado el mismo resultado. Es importante entender
perfectamente la función , porque se usará para anular los números no primos y contar solo
números primos en el conjunto . Pero, si te preguntas: ¿Cómo se hará eso?, es una pregunta
que se responderá en este artículo.
Sin embargo, te voy a dar una pauta: “Se encuentra una forma de convertir los números no
primos a números decimales, cero o negativos, cosa que se anulan y no se cuentan”.
Uso de la función Eit
Para
esta función característica cumple con la propiedad de notación sigma
(sumatoria):
Pero, si bien llega a cumplir con esta propiedad, debemos tener en cuenta que no cumple con
la propiedad distributiva:
Una aplicación es encontrar la cantidad de
números naturales que existe en un conjunto
dado , y para encontrar se suma todos los
términos de
.
Se denotará mediante y se define como:
;
.
donde significa la cantidad de números que
cumplen la condición indicada. Por ejemplo; si
se tiene el siguiente conjunto finito:
la cantidad de números del conjunto , que
se encuentran en , es .
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Las propiedades mostradas de la función , se puede explicar en una sumatoria doble, que
se creará posteriormente. Esta sumatoria es la clave de la exactitud del teorema principal de
este artículo:
Para simplificar la sumatoria doble, lo primero que se debe hacer es desglosar la sumatoria
interna, de la siguiente manera:
Posteriormente, se puede reemplazar en :
Para luego desglosar haciendo uso de la propiedad de notación sigma (sumatoria), para luego
tener lo siguiente:
Y de otra manera se puede escribir, para entender de la mejor forma:
La forma de reducir una sumatoria puede ser larga, pero es fácil porque anula y si se tiene un
programa computarizado, puede obtener resultados de manera rápida de todo lo que se
necesita. Esta parte es clave para usar o crear aplicaciones de la función , en otras ciencias
que se requiera, contar valores seleccionados en un conjunto dado; o anular valores de una
lista seleccionada.
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MATERIALES Y MÉTODOS
La fórmula más importante se encuentra incrustada en el siguiente teorema, que se
demostrará con el propósito de que todo matemático pueda verificar el proceso de creación
de la fórmula, desde cero. En este artículo, la función contadora de números primos es una
función que cuenta el número de números primos menores a cierto número natural .
Se denota mediante
(no debe confundirse con el número) y se define como:
donde significa la cantidad de números que cumplen la condición indicada. En el teorema el
número debe un número entero, y mayor a . Donde es el conjunto de números primos y
el conjunto de números naturales.
Teorema:
Sea
; el valor de
:
Donde:
Si el valor de .
Si se debe encontrar el valor de
:
Siendo los valores de y :
Y la función
:
1. DEFINICIONES Y NOTACIONES
La cantidad de números primos menores que, donde es un número entero.
Número que cambia de primo a convertirse en un número impar en un rango.
Variable muda que se encuentra en una sucesión de términos.
Valor términos de , donde p es primo.
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Valor parecido a
, parecido significa que ofrece resultados casi iguales. Se
encuentra en términos de . (Términos es lo mismo que decir en función de ).
Variable muda, de una sucesión de términos.
Valor inicial de la sucesión , en términos de ; donde es número impar en un rango.
Valor en términos de , y , que se introduce para completar la sucesión .
Valor en términos de , que se introduce con el propósito de corregir j.
Número natural.
Valor en términos o función de .
Valor en términos o función de .
Número natural, el único dato para la fórmula
.
Variable muda que es el valor final de la sucesión .
Valor final de la sucesión , en términos de
.
Función Eit, es una función característica de los números naturales.
Cantidad de números no primos que se cuenta dentro de un rango.
Número natural.
Valor modificado de , para verificar si un número es primo.
Número cualquiera.
2. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA
Paso 1. El valor
. En geometría, se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo con
un ángulo recto. Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo
recto. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras que dice
que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos; y en
este caso los catetos son la base y la altura. La altura y la base del triángulo rectángulo
conforman el ángulo recto; y se oponen a un ángulo agudo.
Para continuar, supondremos a un triángulo rectángulo de base 1, altura , y que la hipotenusa
sea un número mayor a. Se usa el teorema de Pitágoras, para encontrar la ecuación (1):
El número , se supone conocido y que pertenece al conjunto de los números primos. Esta
ecuación se igualará a otra que se conocerá en el paso 2, para explicar porque se iguala
encuentra
, reemplazando en
valores consecutivos de . En este caso, reemplazando
para valores de primos, .
NOTA: En este artículo se reemplaza pocos valores, pero se ha verificado con miles de valores
en el trayecto de la investigación, y existe la seguridad del 100%.
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El valor de
se saca de cada número primo, y se verifica que
siempre será un número
compuesto positivo. Quiere decir, un número primo se está convirtiendo a no primo y esto se
podría convertir de varias maneras, no solo usando el teorema de Pitágoras. Es decir, que el
teorema de Pitágoras es un inicio para la creación de la fórmula, pero realmente poco o nada
servirá posteriormente. Se muestra gráficamente en la [Figura 1]:
Paso 2. El valor
. Por otro lado, se ha encontrado el valor de
mediante el método
heurístico, con el propósito de encontrar por otro camino el valor
. Un camino en este
artículo, es un proceso de creación de fórmula que llega a un mismo resultado, pero con otra
metodología. Se puede resolver un ejercicio de diferente manera, pero llegando al mismo
resultado; es decir, existe caminos para resolver el ejercicio. El valor de
:
El valor de
, encontrado está en función de que pertenece a conjunto de números
naturales. Esta ecuación se igualará con la encontrada en el paso 1, y de la misma manera,
con el objetivo de explicar con mayor precisión se encuentra el valor numérico, reemplazando
un número . Por ejemplo: . Verifique la [Figura 2].
Paso 3. Igualando
y
. Ahora se igualará el valor de
con el valor
. Suponiendo que
el valor de
es un conjunto y el valor de
es un conjunto ; se puede decir que
pertenece al conjunto
. El término conjunto fue explicado en la introducción del artículo, pero
en este caso definiré como una selección de números que cumplen una ecuación dada. De
otra manera, los valores de
de no son iguales a
de .
Por ejemplo, el valor de
que se obtiene al reemplazar en , es un número que
no tiene igualdad de
. En la [Figura 2], identifique este valor de con
.
1
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Figura 2: El valor
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Figura 1: El valor
Figura 1: El valor
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Sin embargo, se ha igualado
y
para despejar , que en este caso puede ser un número
primo o no primo:
Reemplazando el valor de , se puede encontrar un valor de que es un número no
primo. El valor de no es un número primo, si se reemplaza valores de en , que se
reemplazaron anteriormente en , y se han encontrado valores de
que no tienen igualdad
con
. Por ejemplo, el valor de es número compuesto cuando se reemplaza en
, valores
que tienen una sucesión, de . Ver la [Figura 3], siendo .
Paso 4. La sucesión . Se ha comprobado que existen valores de que se reemplazan en
, donde es no primo. Suponiendo que estos números son iguales a valores de la
sucesión, entonces se puede entender que si se reemplaza en
el valor de es
número primo. Para comprobar se ha reemplazado en
y el valor de es número
primo. Por ejemplo, reemplazando en
se encuentra un valor de que es un
número no primo.
Esto sucede porque se ha reemplazado , siendo algunos
8
25
11
35
16
49
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65
25
77
28
85
Figura 3: El valor en
Se verifica que para el número no primo es el , y para el número no primo es
el . El número es primer número no primo múltiplo de , y el número es primer número
no primo múltiplo de . El valor es inicial de , y el valor es inicial de .
El valor inicial de , que se denota por
en , puede depender del valor :
Al depender de, se puede ya encontrar la sucesión , buscando que todo se encuentre por
separado, para no complicar el proceso.
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Para cada valor de se puede encontrar una sucesión
teniendo como base
a
:
Figura 4: Valores
.
Como se puede identificar para cada existe un valor que tiene la forma:
Conocido se encuentra en
y se obtiene
reemplazando ese en
.
Reemplazando en
, los números p encontrados son múltiplos de . El
número es el inicial de , y para encontrar los otros valores de se ha usado y . Por
ejemplo; , , , . Esa es la forma de como se ha
calculado el valor de y para
, usando cada valor de de
.
1
5
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3
7
2
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3
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7
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25
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7
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15
31
8
25
208
33
17
Figura 5: Valores de y para
En se necesita los valores de y , que en este caso están en términos de y
:
En este caso se considera que el valor de puede ser primo o no primo, ya que se está
reemplazando en , por esa razón es que aún el valor de es mayor a cero y sin otras
restricciones.
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En los valores de y son indispensables, y quiere encontrar en términos de un número
. Este número no es igual a , porque los valores de son los que necesitan corregirse
para que al reemplazar en el valor de sea número primo. Algunos
1
0
0
2
1
-1
3
1
0
4
2
-1
Figura 6: Valores de y para cada .
Siendo y en términos del número :
Encontrado lo requerido para encontrar la sucesión . Se reemplaza
,
,
,
y
en
:
Para completar se reemplaza el valor de de
y se reduce al máximo:
Es la sucesión ; y se puede ver que se complica demasiado. No sirve de nada una
sucesión de este tipo, pero se hará una breve modificación para usarla.
Paso 5. Encontrando
y
.
Recordando que si entonces el valor de
es número primo. Si es una sucesión
entonces el valor de también debe ser una sucesión. El valor se convierte en un número
cualquiera en términos de , porque supondremos que es cualquier número sea este par o
impar; y el número será el usado para el teorema; por lo tanto, el valor de debe ser un
número natural.
Por otro lado, el valor de debe ser un valor mayor que
en uno. Con el propósito de que
garantice y cuente todos los números primos menores que un número dado sin excepciones:
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Por lo tanto, reemplazando
y
en
:
y luego despejando el
más grande posible, por seguridad:
Siendo el valor
encontrado, suponiendo que el mismo es un número impar. Para este valor
de
se encuentra su valor de final, reemplazando en
el valor y el valor de
, para despejar el cuál se denominará
:
El valor de es porque siempre iniciará un valor no primo. Despejando se dijo que
es un número par, porque de igual manera se necesitaba que sea el mayor posible:
El valor de
debe estar acompañado de
.
Paso 6. Encontrando
. Recordando que en el paso 3, se ha igualado el valor
de
con el valor
de . Sin embargo, si el valor
es un conjunto y el valor de
es un
conjunto ; el conjunto pertenece al conjunto , pero no son iguales. Ahora si se quiere
tener en el conjunto , y en el conjunto solo números menores a un número conocido, cada
conjunto infinito se convierte en un conjunto finito. Por ejemplo, si el número dado es se
los siguientes conjuntos finitos:
Y la
cuenta la cantidad de números distintos del conjunto que exceden al conjunto .
En este caso el valor de
, porque el número que excede es el . Como el
conjunto fue encontrado usando un número primo, los números que exceden en se
encontraron usando un número compuesto. Por lo tanto, si se cuentan cuantos números
distintos hay en que no existen en , se puede saber la cantidad de números compuestos
que se encuentran en , al reemplazar valores de del conjunto . Explicado de otra manera,
se cuenta la cantidad de valores que al reemplazar en el valor de , sale número no
primo.
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Fórmula para hallar la cifra de números primos menores que una
cantidad dada
Beimar Wilfredo López Subia
Universidad Mayor, Real y Pontificia de San Francisco Xavier de
Chuquisaca, Facultad de Ingeniería Civil, Sucre – Bolivia.
beimarlopezsubia@hotmail.com
Despejando el valor de de
:
Pero para encontrar la cantidad de valores de que reemplazando en sale un número
compuesto, se necesita saber aún hasta que número se reemplazará de en , para luego
contar cuantos números compuestos hay. Recordando, que es una sucesión que empieza
en el número , y la sucesión empieza en ; se requiere un límite para cada sucesión que se
encontrará en el conjunto . Para esto, se modifica el valor de
de la ecuación
usando
la nomenclatura de función piso y techo, para redondear correctamente al número entero más
cercano:
De la misma manera se modifica el valor de
de
usando función techo, redondeando
al número entero más grande, para ningún número compuesto se escape del conteo:
Es decir, que para encontrar la cantidad de valores se puede elegir un valor estático.
Estático significa, un número que no cambia en ningún momento. Y si el valor estático
reemplazo en , se puede hacer variar en el rango de
, sin saltarse ningún
número entero. Reemplazando desde consecutivamente hasta
, el valor de
, para
cada valor de deberá indicar si ha salido decimal o entero. En caso de salir un número entero,
significa con ese valor de existe un número no primo en , y debe contar; caso contrario,
si sale un número decimal con ese valor de sale un número primo en , y debe anularse.
Para esto se ha creado la función , que se ha explicado de la mejor manera posible
anteriormente:
NOTA: Esta función Eit, ha sido explicada su función principal en INTRODUCCIÓN.
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Quiere decir que para un valor estático, que varía de
se reemplaza que varía de
, se puede contar todos los valores de que se reemplaza en , y sale como
resultado un número compuesto:
Primero se reemplaza , luego de hace variar en el rango establecido; para luego cambiar a
otro consecutivo .
Para encontrar el valor de , reemplazando la ecuación en
y realizando el cambio
en
, y
en :
Paso 7. Encontrando
La cantidad de números primos se puede encontrar conociendo
y . Es decir, la cantidad
de números primos menores que será la cantidad de todos los
reemplazados, menos la
cantidad de no primos que es . Luego se suma porque la fórmula funciona cuando
y menores al 5 existen los números primos 2 y 3 que también debe contarse mediante la
fórmula:
Pero como se quiere un número entero se redondeará correctamente lo mismo que
, para
tener lo siguiente:
Si el valor de : Solo es como una ayuda, ya que
.
Si se debe encontrar el valor de .
De esta manera se ha creado la formula, y el TEOREMA es correcto.
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3. LEMAS
3.1. Lema 1; La sucesión de números primos se encuentra reemplazando valores de
, en la fórmula:
Siempre que , donde:
Explicación de lema 1
Se reemplaza en
, las expresiones
,
,
,
,
,
y
:
Si el valor de en
es número primo. De esta manera el enunciado es correcto.
3.2. Lema 2; Un número , es número primo, si existe elegido entre:
(Si es un número entero par, elegir para )
(Si es un número entero impar, elegir para )
Si no cumple ninguno, no se puede elegir un valor y por lo tanto el número no es primo
directamente. Pero si cumple se puede elegir , se verifica que
y si cumple el número
es primo:
Explicación de lema 2
Utilizando la ecuación
, que es la siguiente:
Sí , se despejará :
(
es un número par)
(
es un número impar)
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Si
se reemplaza en
de la demostración del TEOREMA:
Llegando a encontrar el resultado requerido.
3.3. Lema 3; Todos los números primos cumple
, si:
Para todo , y .
Explicación de lema 3
Se reemplaza en
, las expresiones
,
,
,
,
,
y
:
Si , y , la
es equivalente a:
Reemplazando , y
, con el propósito de despejar :
Se verifica que cumple:
.
3.4. Lema 4; Todos los números primos tienen la forma . Para todo .
Explicación de lema 4
Sí , el valor encontrado:
Sí , el valor encontrado:
Por lo tanto, primos tienen la forma . Para todo .
4. Corolarios
4.1. Corolario 1
Todos los números primos tienen orden igual a
, siempre que le número
sea primo. Para todo .
Explicación de corolario 1
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4. COROLARIOS
4.1. Corolario 1; Todos los números primos tienen orden igual a
, siempre
que le número sea primo. Para todo .
Explicación de corolario 1; El orden de un número primo es el número de primo contando
desde el 2. El 2 es orden 1, el 3 es orden 2, el 5 es orden 3, el 7 es orden 4, el 11 es orden 5.
Aquí se debe verificar si el número es primo, y si es así encuentra su orden.
Como se está usando la función
del TEOREMA, y esta función cuenta los números primos
menores que el número , y si con la ayuda del LEMA 2 el valor de es primo. Entonces el
orden de número primo es igual a la cantidad de números menores que , más contando al
mismo número. Significa que el orden es
.
4.2. Corolario 2; Los primos que se encuentra entre y , es igual a
.
Para todo , y . Donde puede contarse si es primo.
Explicación de corolario 2; Como se está usando la función
del TEOREMA, y esta
función cuenta los números primos menores que el número , y si para sacar la
cantidad de números primos entre y es igual a
. Pero se debe hacer notar
que el valor puede contarse si es un número primo.
4.3. Corolario 3; La cantidad de números compuestos menores que es igual a
.
Para todo .
Explicación de corolario 3; Como se está usando la función
del TEOREMA, y esta
función cuenta los números primos menores que el número . Entre cero y el número la
cantidad de números existentes es la suma de números primos y compuestos. Los números
compuestos es igual a la cantidad de números menos la cantidad de números primos.
Significa que es válido identificar que la cantidad de números compuestos es
. Para
todo .
5. CÓDIGO DE PROGRAMACIÓN
Sea creado un UserForm en Visual Basic de Excel 2019, se puede copiar y pegar el código
según corresponda en CommandButton1, para verificar la veracidad de este artículo:
Figura 7: UserForm básico creado en Excel VB
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5.1. ¿Cuál es la cantidad de números primos menores que un número dado?:
Dim x As Double
Dim t As Double
Dim cc As Double
Dim c As Double
Dim m As Double
Dim n As Double
Dim aa As Double
Dim a As Double
Dim k As Double
Dim pp As Double
Dim p As Double
Dim r As Double
Dim suma As Double
Function Eit(x As Double) As Double
If x <= 0 Or x - Int(x) > 0 Then
Eit = 0
Else
Eit = 1
End If
End Function
Private Sub CommandButton1_Click()
x = Val(TextBox1.Text)
aa = (2 * x + (-1) ^ x - 1) / 6
a = Round(aa, 0)
cc = ((-1 + (Sqr(-2 + 3 * aa))) / 3)
c = -Int(cc * (-1))
m = c
n = a - 1
suma = 0
k = 0
t = 0
For j = 8 To n
For i = 1 To m
r = Eit((4 * j - ((-1) ^ j) + ((2 * i + 1) * (-1) ^ (i + j)) + ((2 * i - 1) * (-1) ^ i) - (12 * i * i) + 5) / (12 * i +
6 - (2 * (-1) ^ i)))
k = r + k
Next i
suma = Eit(k) + suma
k = 0
Next j
pp = (2 * x + ((-1) ^ x) - 6 * suma + 5) / 6
p = Round(pp, 0)
MsgBox ("valor de pi(x) = " & p)
End Sub
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5.2. ¿Cuáles son números primos menores que un número dado?:
Dim x As Double
Dim t As Double
Dim cc As Double
Dim c As Double
Dim m As Double
Dim n As Double
Dim aa As Double
Dim a As Double
Dim k As Double
Dim pp As Double
Dim p As Double
Dim r As Double
Dim suma As Double
Function Eit(x As Double) As Double
If x <= 0 Or x - Int(x) > 0 Then
Eit = 0
Else
Eit = 1
End If
End Function
Private Sub CommandButton1_Click()
x = Val(TextBox1.Text)
aa = (2 * x + (-1) ^ x - 1) / 6
a = Round(aa, 0)
cc = ((-1 + (Sqr(-2 + 3 * aa))) / 3)
c = -Int(cc * (-1))
m = c
n = a - 1
suma = 0
k = 0
t = 0
MsgBox ("NÚMERO PRIMO = 2 ")
MsgBox ("NÚMERO PRIMO = 3 ")
For j = 1 To n
For i = 1 To m
r = Eit((4 * j - ((-1) ^ j) + ((2 * i + 1) * (-1) ^ (i + j)) + ((2 * i - 1) * (-1) ^ i) - (12 * i * i) + 5) / (12 * i +
6 - (2 * (-1) ^ i)))
k = r + k
Next i
suma = Eit(k) + suma
If Eit(k) = 0 Then
t = (-(-1) ^ j + 3 + 6 * j) / 2
MsgBox ("NÚMERO PRIMO = " & t)
End If
k = 0
Next j
pp = (2 * x + ((-1) ^ x) - 6 * suma + 5) / 6
p = Round(pp, 0)
End Sub
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5.3. ¿El número dado es primo o no primo?:
El número dado es primo o no primo (Parte 1)
Dim x As Double
Dim t As Double
Dim cc As Double
Dim numero As Double
Dim a As Double
Dim b As Double
Dim c As Double
Dim n As Double
Dim k As Double
Dim r As Double
Dim suma As Double
Function Eit(x As Double) As Double
If x <= 0 Or x - Int(x) > 0 Then
Eit = 0
Else
Eit = 1
End If
End Function
Private Sub CommandButton1_Click()
numero = Val(TextBox1.Text)
'número par
a = (numero - 1) / 3
'número impar
b = (numero - 2) / 3
'=========================
If a = Int(a) And a = Int(a / 2) * 2 Then
n = a
'==== PRIMERA ELECCION CUANDO t ES PAR
cc = (-1 + Sqr(1 + 3 * n)) / 3
m = -Int(cc * (-1))
'====
suma = 0
k = 0
t = 0
For j = n To n
For i = 1 To m
r = Eit((4 * j - ((-1) ^ j) + ((2 * i + 1) * (-1) ^ (i + j)) + ((2 * i - 1) * (-1) ^ i) - (12 * i * i) + 5) / (12 * i +
6 - (2 * (-1) ^ i)))
k = r + k
Next i
suma = Eit(k) + suma
k = 0
Next j
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El número dado es primo o no primo (Parte 2)
If suma = 0 Then
MsgBox ("EL NÚMERO ES PRIMO")
Else
MsgBox ("EL NÚMERO NO ES PRIMO")
End If
'==========================
ElseIf b = Int(b) And b <> 2 * Int(b / 2) Then
n = b
'==== SEGUNDA ELECCION CUANDO t ES IMPAR
cc = (-1 + Sqr(1 + 3 * n)) / 3
m = -Int(cc * (-1))
'====
suma = 0
k = 0
t = 0
For j = n To n
For i = 1 To m
r = Eit((4 * j - ((-1) ^ j) + ((2 * i + 1) * (-1) ^ (i + j)) + ((2 * i - 1) * (-1) ^ i) - (12 * i * i) + 5) / (12 * i +
6 - (2 * (-1) ^ i)))
k = r + k
Next i
suma = Eit(k) + suma
k = 0
Next j
'====
If suma = 0 Then
MsgBox ("EL NÚMERO ES PRIMO")
Else
MsgBox ("EL NÚMERO NO ES PRIMO")
End If
'==========================
'==== EN CASO DE QUE NO CUMPLA NINGUNO
Else
MsgBox ("EL NÚMERO NO ES PRIMO")
End If
End Sub
RESULTADOS
Los valores encontrados haciendo uso del
TEOREMA son totalmente exactos. Se hizo una
programación rápida en Excel 2019 y aunque
cuando los valores de x son demasiado grandes
demora más tiempo en calcular la cantidad de
números primos menores que un número x
conocido, la fórmula demuestra exactitud.
Se ha verificado las lagunas de primos
hasta el valor de
. Entendiendo
la creación del TEOREMA, se llega a la
conclusión de que cumple para todos los
números primos . ¿Por qué?, la
creación de la fórmula se hizo desde
cero, para explicar todo.
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Se puede verificar los resultados encontrados
sin ningún problema, y aunque es notable que
cumplirá para todos los números primos
mayores a 3; analizando el proceso de la
creación del TEOREMA, es seguro que
cumplirá para valores mucho más grandes.
El TEOREMA es el más importante porque ahí
se encuentra la fórmula
, y entender es el
secreto para estudiar los números primos con
mayor profundidad.
Sin embargo, se puede encontrar de manera
computarizada y de manera rápida resultados
para verificar la veracidad de la fórmula, y se
puede también encontrar cuáles son los
números primos menores que un número
dado y saber si un número es primo o no es
primo.
Por otro lado, gracias a función , fueron
anulados números compuestos, para contar
solo los números primos y tener un resultado
sorprendente.
La fórmula fue creada con el propósito de que
pueda calcular la distribución de los números
primos sin importar que tan grande es el
número es correcta, y se ha encontrado
resultados de la cantidad de números primos
menores que el número
.
En Excel al instante se verifica hasta
números primos menores a
,
esperando un tiempo se puede encontrar
hasta
y en MATLAB se ha
sacado más cantidades totalmente
exactas que no se predecía:
…
…
…
Figura 8: Valores de
que se encuentran de manera exacta
CONCLUSIONES
Se ha entendido que los números primos
son importantes para la matemática,
siendo que si no existirían los números
primos la matemática no tendría sentido.
Siendo así, entendiendo la importancia
de los números primos, se ha dado a
conocer una historia breve de cuanto el
hombre ha buscado esta fórmula.
Se ha tomado en cuenta lo siguiente: "En
la ciencia y la matemática todo es posible,
y se puede hacer avances usando nueva
matemática". Y se cumplió creando la
función , porque la función contadora
de números primos
se requería que
sea totalmente exacta. La función es
simple, pero es muy importante; y se
puede estudiar a más profundidad para
usarla en aplicaciones matemáticas y la
criptografía (Algoritmo RSA), que es el
objetivo de este artículo.
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La función
que cuenta los números
primos menores que un número conocido,
brinda resultados tan exactos que antes
no se predecía y es capaz de hallar la
distribución de los números primos
exactamente.
Se ha verificado que cumple hasta un
valor grande, y entendido el proceso de
demostración se interpreta la fórmula es
inédita.
La demostración es muy certera y cumple
con el propósito sin problema, porque la
fórmula llega a cumplir sin error hasta un
valor grande, y eso es bueno porque
existe demasiada exactitud en su
resultado.
Quizás, sería interesante verlo en un
software más potente para tener
resultados de valores mucho más
grandes, pero el avance hasta este
momento es impresionante.
REFERENCIAS
- Sautoy, M. (2007). La música de los números
primos. EL ACANTILADO.
- Gracián, E. (2010). Los números primos. RBA
LIBROS.
- Dominic, W. (2019). El origen del teorema de los
números primos. MAA CONVERGENCE.
- Jara, V. & Sánchez, C. (2020). Nueva prueba de
que la suma de los recíprocos de Primos diverge.
MDPI MATHEMATICS
148
